材料力学考研，重点公式汇总

材料力学考研，重点公式汇总

材料力学考研重点公式较多，以下按照不同章节进行汇总：

轴力计算：根据截面一侧的外力平衡条件计算轴力，设截面一侧的外力为$F_1,F_2,cdots,F_n$，则轴力$F_N=sum_{i = 1}^{n}F_i$（规定拉力为正，压力为负）。

轴力图：以杆件的轴线为$x$轴，轴力$F_N$为$y$轴，根据各截面轴力的大小和正负绘制轴力图。

公式：$sigma=frac{F_N}{A}$，其中$sigma$为横截面上的正应力，$F_N$为轴力，$A$为横截面面积。

正应力：$sigma_{alpha}=sigmacos^{2}alpha$

切应力：$tau_{alpha}=frac{1}{2}sigmasin2alpha$，其中$alpha$为斜截面法线与横截面法线的夹角。

屈服极限：$sigma_s=frac{F_s}{A_0}$，其中$F_s$为屈服载荷，$A_0$为试件的原始横截面面积。

强度极限：$sigma_b=frac{F_b}{A_0}$，其中$F_b$为最大载荷。

伸长率：$delta=frac{l_1 - l_0}{l_0}times100%$，其中$l_0$为试件的原始长度，$l_1$为试件拉断后的长度。

断面收缩率：$psi=frac{A_0 - A_1}{A_0}times100%$，其中$A_1$为试件拉断后的颈缩处横截面面积。

许用应力：$[sigma]=frac{sigma_s}{n}$（塑性材料）或$[sigma]=frac{sigma_b}{n}$（脆性材料），其中$n$为安全因数。

强度条件：$sigma=frac{F_N}{A}leq[sigma]$，用于校核强度、设计截面尺寸和确定许可载荷。

扭矩计算：根据截面一侧的外力偶矩平衡条件计算扭矩，设截面一侧的外力偶矩为$M_1,M_2,cdots,M_n$，则扭矩$T=sum_{i = 1}^{n}M_i$（规定使杆件产生顺时针转动的扭矩为正，反之为负）。

扭矩图：以杆件的轴线为$x$轴，扭矩$T$为$y$轴，根据各截面扭矩的大小和正负绘制扭矩图。

横截面上的切应力：$tau=frac{Trho}{I_p}$，其中$tau$为横截面上的切应力，$T$为扭矩，$rho$为所求应力点到圆心的距离，$I_p$为极惯性矩（对于实心圆轴$I_p=frac{pi d^4}{32}$，对于空心圆轴$I_p=frac{pi(D^4 - d^4)}{32}$，$d$为内径，$D$为外径）。

最大切应力：$tau_{max}=frac{T}{W_p}$，其中$W_p$为抗扭截面系数（对于实心圆轴$W_p=frac{pi d^3}{16}$，对于空心圆轴$W_p=frac{pi(D^4 - d^4)}{16D}$）。

圆轴扭转时的变形：$varphi=frac{TL}{GI_p}$，其中$varphi$为圆轴两端的相对扭转角，$L$为圆轴的长度，$G$为材料的切变模量。

强度条件：$tau_{max}=frac{T}{W_p}leq[tau]$，用于校核强度、设计截面尺寸和确定许可载荷。

刚度条件：$varphi=frac{TL}{GI_p}leq[varphi]$，其中$[varphi]$为许用单位长度扭转角，用于校核刚度、设计截面尺寸和确定许可载荷。

以梁的轴线为$x$轴，垂直于梁轴线向下为$y$轴，在梁上任取一截面$x$，根据截面一侧的外力平衡条件列出剪力$F_Q(x)$和弯矩$M(x)$方程。

根据剪力方程和弯矩方程，以$x$为横坐标，$F_Q(x)$和$M(x)$为纵坐标，绘制剪力图和弯矩图。

$frac{dF_Q(x)}{dx}=-q(x)$，$frac{dM(x)}{dx}=F_Q(x)$，其中$q(x)$为分布载荷集度。

公式：$sigma=frac{My}{I_z}$，其中$sigma$为横截面上的正应力，$M$为弯矩，$y$为所求应力点到中性轴的距离，$I_z$为横截面对中性轴的惯性矩。

$sigma_{max}=frac{M}{W_z}$，其中$W_z$为抗弯截面系数，对于矩形截面$W_z=frac{bh^2}{6}$（$b$为宽度，$h$为高度），对于圆形截面$W_z=frac{pi d^3}{32}$（$d$为直径）。

$sigma_{max}=frac{M}{W_z}leq[sigma]$，用于校核强度、设计截面尺寸和确定许可载荷。

矩形截面梁：$tau=frac{F_QS_z^}{I_zb}$，其中$F_Q$为剪力，$S_z^$为所求切应力点以上（或以下）面积对中性轴的静矩，$b$为梁的宽度。

最大切应力：$tau_{max}=frac{3F_Q}{2bh}$（矩形截面梁）。

根据$frac{d^2v}{dx^2}=frac{M(x)}{EI}$，对$M(x)$进行两次积分，得到转角方程$theta(x)=intfrac{M(x)}{EI}dx + C$和挠曲线方程$v(x)=iintfrac{M(x)}{EI}dxdx + Cx + D$，其中$C$、$D$为积分常数，由边界条件确定。

当梁上同时作用多个载荷时，可分别计算每个载荷单独作用时引起的变形，然后将它们叠加起来得到总变形。

$v_{max}leq[v]$或$theta_{max}leq[theta]$，其中$[v]$和$[theta]$分别为许用挠度和许用转角，用于校核刚度、设计截面尺寸和确定许可载荷。

解析法：

任意斜截面上的正应力：$sigma_{alpha}=frac{sigma_x + sigma_y}{2}+frac{sigma_x - sigma_y}{2}cos2alpha - tau_xsin2alpha$

任意斜截面上的切应力：$tau_{alpha}=frac{sigma_x - sigma_y}{2}sin2alpha + tau_xcos2alpha$

图解法（应力圆）：以正应力$sigma$为横坐标，切应力$tau$为纵坐标，根据已知点的应力状态确定应力圆的圆心和半径，进而求出任意斜截面上的应力。

主应力公式：$sigma_{1,2}=frac{sigma_x + sigma_y}{2}pmsqrt{(frac{sigma_x - sigma_y}{2})^2 + tau_x^2}$，$sigma_3 = 0$（平面应力状态）。

主平面方位：$tan2alpha_0=-frac{2tau_x}{sigma_x - sigma_y}$。

最大拉应力理论（第一强度理论）：$sigma_1leq[sigma]$，适用于脆性材料在单向拉伸或复杂应力状态下以拉应力为主的破坏。

最大拉应变理论（第二强度理论）：$sigma_1 - mu(sigma_2 + sigma_3)leq[sigma]$，适用于脆性材料在压缩为主的破坏情况。

最大切应力理论（第三强度理论）：$sigma_1 - sigma_3leq[sigma]$，适用于塑性材料。

畸变能密度理论（第四强度理论）：$sqrt{frac{1}{2}[(sigma_1 - sigma_2)^2 + (sigma_2 - sigma_3)^2 + (sigma_3 - sigma_1)^2]}leq[sigma]$，适用于塑性材料，计算结果比第三强度理论更接近实际情况。

将载荷分解为两个相互垂直平面内的分载荷，分别计算两个平面内的弯矩，然后根据叠加原理计算危险截面上的最大正应力。

危险截面上的正应力：$sigma=frac{F_N}{A}pmfrac{M}{W}$，根据正应力的分布情况判断最大正应力的位置和大小。

第三强度理论：$sigma_{r3}=sqrt{sigma^2 + 4tau^2}leq[sigma]$

第四强度理论：$sigma_{r4}=sqrt{sigma^2 + 3tau^2}leq[sigma]$，其中$sigma$为弯曲正应力，$tau$为扭转切应力。

欧拉公式：$F_{cr}=frac{pi^2EI}{(mu l)^2}$，其中$F_{cr}$为临界力，$E$为材料的弹性模量，$I$为横截面的惯性矩，$l$为杆件的长度，$mu$为长度系数（取决于杆端的约束情况，两端铰支时$mu = 1$，一端固定一端自由时$mu = 2$，两端固定时$mu = 0.5$，一端固定一端铰支时$muapprox0.7$）。

经验公式：对于中柔度杆，$sigma_{cr}=a - blambda$，其中$sigma_{cr}$为临界应力，$lambda$为柔度（$lambda=frac{mu l}{i}$，$i$为截面的回转半径，$i=sqrt{frac{I}{A}}$），$a$、$b$为与材料有关的常数。

$sigma=frac{F}{A}leq[sigma_{st}]=frac{F_{cr}}{A}$，其中$[sigma_{st}]$为稳定许用应力，用于校核稳定性、设计截面尺寸和确定许可载荷。